Question

（1）圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一點(diǎn)P（x₀，y₀），求由點(diǎn)P向圓引切線的長(zhǎng)度；
（2）在直線2x+y+3=0上求一點(diǎn)P，使由P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長(zhǎng)度為最�。�

Answer 1

分析：（1）先把x²+y²+Dx+Ey+F=0，通過(guò)配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程則，明確圓心和半徑．再利用圓外有一點(diǎn)P（x₀，y₀），由點(diǎn)P向圓引切線，切線長(zhǎng)、半徑和PO組成直角三角形；再根據(jù)勾股定理求出切線長(zhǎng)．
（2）已知圓x²+y²-4x=0求出圓心和半徑為．再根據(jù)圖形和幾何性質(zhì)，要在直線2x+y+3=0上求一點(diǎn)P，使由P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長(zhǎng)度為最�。�半徑已定，只需要滿足直線上一點(diǎn)到圓心的距離最小即可．顯然直線上一點(diǎn)P即為，過(guò)圓心與直線2x+y+3=0垂直的交點(diǎn)．

解答：解：（1）已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，則，圓心為O為( -

D

2

，-

E

2

)，半徑為

D2+E2-4F

2

；
圓外有一點(diǎn)P（x₀，y₀），由點(diǎn)P向圓引切線，切線長(zhǎng)、半徑和PO組成直角三角形；
根據(jù)勾股定理易得：切線長(zhǎng)=

PO2-R2

其中PO=

(x0+ D 2 ) 2+(y0+ E 2 ) 2

R=

D2+E2-4F

2

；
代入上式化簡(jiǎn)為

x02+y02+Dx0+Ey0+F

即為所求．
（2）已知圓x²+y²-4x=0．易得圓心為（2，0），半徑為2．
要在直線2x+y+3=0上求一點(diǎn)P，使由P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長(zhǎng)度為最小．
半徑已定，只需要滿足直線上一點(diǎn)到圓心的距離最小即可．
顯然直線上一點(diǎn)P即為，過(guò)圓心與直線2x+y+3=0垂直的交點(diǎn)．
該直線為：x-2y-2=0
聯(lián)立   2x+y+3=0
求得

x= - 4 5 y=- 7 5

則該點(diǎn)P為（-

4

5

，-

7

5

）即為所求．
答：（1）圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一點(diǎn)P（x₀，y₀），點(diǎn)P向圓引切線的長(zhǎng)度為

x02+y02+Dx0+Ey0+F

（2）直線2x+y+3=0上一點(diǎn)P為（-

4

5

，-

7

5

）P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長(zhǎng)度為最�。�

點(diǎn)評(píng)：（1）圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一點(diǎn)P（x₀，y₀），點(diǎn)P向圓引切線的長(zhǎng)度為

x02+y02+Dx0+Ey0+F

，可以把此當(dāng)結(jié)論記�。� （2）解決直線與圓的相關(guān)問(wèn)題，盡量充分利用直線與圓的相關(guān)幾何性質(zhì)加以解決．