Question

已知數列{a_n}，{b_n} 滿足：a₁=0，b₁=2013，且對任意的正整數 n，a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數列．
（1）求 a₂，b₂的值；
（2）證明：{a_n-b_n}和{a_n+2b_n} 均成等比數列；
（3）是否存在唯一的正整數 c，使得 a_n＜c＜b_n恒成立？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差中項公式即可求得a₂，b₂；
（2）由a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數列，得即，只證為常數即可，把①②代入該式即可證得；同理把①②代入可證得為常數，注意驗證其首項不為0；
（3）由（2）得，解得，易判斷{a_n}是單調遞增數列，{b_n}是單調遞減數列，且a_n＜1342＜b_n，n∈N^*，再證明對任意的n∈N^*且n≥7時，1341＜a_n＜1342＜b_n＜1343即可說明c的唯一性．
解答：解：（1）因為a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數列，
所以，=；
（2）依題意，對任意的正整數n，有⇒，
因為==（常數），n∈N^*，
又a₁-b₁=-2013≠0，
所以{a_n-b_n}是首項為-2013，公比為的等比數列；
因為==1（常數），n∈N^*，
又a₁+2b₁=4026≠0，
所以{a_n+2b_n}是首項為4026，公比為1的等比數列．
（3）由（2）得，，解之，得，
顯然，{a_n}是單調遞增數列，{b_n}是單調遞減數列，且a_n＜1342＜b_n，n∈N^*，即存在正整數c=1342，使得對任意的n∈N^*，有a_n＜1342＜b_n，
又令，得2^2n-2＞1342，而2¹⁰=1024，2¹²=4096，所以2n-2≥12，n≥7，即對任意的n∈N^*且n≥7時，1341＜a_n＜1342＜b_n＜1343．
所以正整數c=1342也是唯一的．
綜上所述，存在唯一的正整數c=1342，使得對任意的正整數 c，使得 a_n＜c＜b_n恒成立．
點評：本題考查等差數列、等比數列的綜合，考查利用遞推公式推導數列的通項公式，考查學生分析問題解決問題的能力，本題綜合性較強，難度較大．