已知數(shù)列{an},{bn} 滿足:a1=0,b1=2013,且對任意的正整數(shù) n,an,an+1,bn 和 an+1,bn+1,bn均成等差數(shù)列.
(1)求 a2,b2的值;
(2)證明:{an-bn}和{an+2bn} 均成等比數(shù)列;
(3)是否存在唯一的正整數(shù) c,使得 an<c<bn恒成立?證明你的結(jié)論.
【答案】
分析:(1)利用等差中項公式即可求得a
2,b
2;
(2)由a
n,a
n+1,bn 和 a
n+1,b
n+1,b
n均成等差數(shù)列,得

即

,只證

為常數(shù)即可,把①②代入該式即可證得;同理把①②代入

可證得為常數(shù),注意驗證其首項不為0;
(3)由(2)得

,解得

,易判斷{a
n}是單調(diào)遞增數(shù)列,{b
n}是單調(diào)遞減數(shù)列,且a
n<1342<b
n,n∈N
*,再證明對任意的n∈N
*且n≥7時,1341<a
n<1342<b
n<1343即可說明c的唯一性.
解答:解:(1)因為a
n,a
n+1,bn 和 a
n+1,b
n+1,b
n均成等差數(shù)列,
所以

,

=

;
(2)依題意,對任意的正整數(shù)n,有

⇒

,
因為

=

=

(常數(shù)),n∈N
*,
又a
1-b
1=-2013≠0,
所以{a
n-b
n}是首項為-2013,公比為

的等比數(shù)列;
因為

=

=1(常數(shù)),n∈N
*,
又a
1+2b
1=4026≠0,
所以{a
n+2b
n}是首項為4026,公比為1的等比數(shù)列.
(3)由(2)得,

,解之,得

,
顯然,{a
n}是單調(diào)遞增數(shù)列,{b
n}是單調(diào)遞減數(shù)列,且a
n<1342<b
n,n∈N
*,即存在正整數(shù)c=1342,使得對任意的n∈N
*,有a
n<1342<b
n,
又令

,得2
2n-2>1342,而2
10=1024,2
12=4096,所以2n-2≥12,n≥7,即對任意的n∈N
*且n≥7時,1341<a
n<1342<b
n<1343.
所以正整數(shù)c=1342也是唯一的.
綜上所述,存在唯一的正整數(shù)c=1342,使得對任意的正整數(shù) c,使得 a
n<c<b
n恒成立.
點評:本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合,考查利用遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項公式,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,本題綜合性較強,難度較大.