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數列{an}的各項均為正數,Sn為其前n項和,對于任意的n∈N*,總有2an+1,2Sn,an2成等差數列
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設數列{bn}的前n項和為Tn,且bn=
1
anan+1
,求證:Tn<
1
2
(n∈N*)
考點:數列的求和,等差數列的性質
專題:等差數列與等比數列
分析:(1)由于2an+1,2Sn,an2成等差數列,可得4Sn=2an+1+
a
2
n
,利用遞推式可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,根據題意可得an-an-1=2,利用等差數列的通項公式即可得出.
(2)bn=
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,利用“裂項求和”即可得出.
解答: (1)解:∵2an+1,2Sn,an2成等差數列,
4Sn=2an+1+
a
2
n
,
當n≥2時,4Sn-1=2an-1+1+
a
2
n-1
,
∴4an=4Sn-4Sn-1=2an+1+
a
2
n
-
(2an-1+1+
a
2
n-1
)
,
化為(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵?n∈N*,an>0,
∴an-an-1=2,
當n=1時,4a1=2a1+1+
a
2
1
,解得a1=1.
∴數列{an}是等差數列,
an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)證明:bn=
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

∴Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+
…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]

=
1
2
(1-
1
2n+1
)
1
2
(n∈N*)

Tn
1
2
成立.
點評:本題考查了等比數列的通項公式、遞推式的應用、“裂項求和”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x=
1
2
處取得極值,且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x-y+1=0垂直.
(1)求實數a、b的值;
(2)若對任意x∈[1,+∞),不等式f(x)≤(m-2)x-
m
x
恒成立,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}中,an+1=an+2(n∈N*),a2,a5,a14構成等比數列.記bn=
1
anan+1
(n∈N*)
(1)數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設{bn}的前n項和為Rn.是否存在正整數k,使得Rk≥2k成立?若存在,找出一個正整數k;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是奇函數,且f(x)=
1
f(x+3)
,當2≤x<3時,f(x)=(
1
2
x,則f(2014)=( 。
A、2
B、4
C、-4
D、-
1
4

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科目:高中數學 來源: 題型:

下列有關命題的說法正確的是( 。
A、命題“若x2=1,則x=1”的否命題為:“若x2=1,則x≠1”
B、命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題
C、“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件
D、命題“?x∈R使得x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R均有x2+x+1<0”

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知C為線段AB的中點,P為直線AB外一點,滿足|
PA
|=|
PB
|=3,|
PA
-
PB
|=4,
PI
IC
BI
=m(
AC
|
AC
|
+
AP
|
AP
|
)+
BA
,m>0,則λ=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設f(n)是關于正整數n的命題.已知:
①命題f(n0),f(n0+1),f(n0+2)均成立,其中n0為正整數;
②對任意的k∈N+且k≥n0,在假設f(k)成立的前提下,f(k+m)也成立,其中m為某個固定的正整數.
若要用上述條件說明命題f(n)對一切不小于n0的正整數n均成立,則m的最大值為( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數學 來源: 題型:

在區(qū)間[3,5]上任取一個數m,則“函數f(x)=x2-4x-m+4(-1≤x<4)有兩個零點”的概率是( 。
A、
3
4
B、
1
2
C、
1
6
D、
1
12

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科目:高中數學 來源: 題型:

某校開展“節(jié)能減排,保護環(huán)境,從我做起!”的活動,該校高二某班同學利用假期在南城、北城兩個小區(qū)進行了逐戶的關于“生活習慣是否符合低碳排放標準”的調查.生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳家庭”,否則稱為“非低碳家庭”.經統(tǒng)計,這兩類家庭占各自小區(qū)總戶數的比例P數據如下:
南城小區(qū)低碳家庭非低碳家庭北城小區(qū)低碳家庭非低碳家庭
比例P
2
3
1
3
比例P
4
5
1
5
如果在南城、北城兩個小區(qū)內各隨機選擇2個家庭,求這4個家庭中恰好有兩個家庭是“低碳家庭”的概率.

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