Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1（nN^*），
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求a_n的表達(dá)式；
（2）求證：

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由數(shù)列遞推式求得數(shù)列前三項(xiàng)，在數(shù)列遞推式中，取n=n-1得另一遞推式，作差后另一構(gòu)造法構(gòu)造等比數(shù)列{a_n-2}，然后由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把（1）中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

，化簡(jiǎn)后另一數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．

解答： （1）解：由S_n+a_n=2n+1  ①，得
S₁+a₁=2a₁=3，a1=

3

2

．
S₂+a₂=a₁+2a₂=5，a2=

7

4

．
S₃+a₃=a₁+a₂+2a₃=7，a3=

15

8

．
S_n-1+a_n-1=2（n-1）+1（n≥2）②，
①-②得a_n+a_n-a_n-1=2，即an=

1

2

an-1+1(n≥2)．
∴an-2=

1

2

(an-1-2)（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n-2}是以-

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an=(-

1

2

)×(-

1

2

)n-1+2=2-

1

2n

；
（2）證明：由an=1-

1

2n

，得

2-an

an-1

=

1

2n-1

．
因此，不等式

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

等價(jià)于

1

2-1

+

1

22-1

+…

1

2n-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=

5

3

-

7

12

=

13

12

．
左邊＜右邊，不等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即

1

2-1

+

1

22-1

+…+

1

2k-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2k

．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=

1

2-1

+

1

22-1

+…+

1

2k-1

+

1

2k+1-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2k

+

1

2k+1-1

=

5

3

-

7

6

•

2

2k+1

+

1

2k+1-1

=

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

+

1

2k+1-1

-

7

6

•

1

2k+1

=

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

+

6•2k+1-7(2k+1-1)

6(2k+1-1)•2k+1

=

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

+

7-2k+1

6(2k+1-1)•2k+1

．
∵k≥2．
∴7-2^k+1＜0．
故

7-2k+1

6(2k+1-1)•2k+1

＜0．
∴

1

2-1

+

1

22-1

+…+

1

2k-1

+

1

2k+1-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．
綜上可知，對(duì)于任意的n∈N^*，都有

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．