已知橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．

 

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）直線的方程為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形，所以，利用，可得，又橢圓的焦點在軸上，從而得橢圓的方程；（Ⅱ）需分直線的斜率是否為0討論．①當直線的斜率為0時，則；②當直線的斜率不為0時，設，，直線的方程為，將代入，整理得．利用韋達定理列出．結合，，列出關于的函數(shù)，應用均值不等式求其最值，從而得的值，最后求出直線的方程．

試題解析：（Ⅰ）由已知得（2分），又，∴橢圓方程為（4分）

（Ⅱ）①當直線的斜率為0時，則；        6分

②當直線的斜率不為0時，設，，直線的方程為，

將代入，整理得．

則，．      8分

又，，

所以，=

 10分．

令，則

所以當且僅當，即時，取等號． 由①②得，直線的方程為．13分．

考點：1．橢圓方程的求法；2．直線和橢圓位置關系中最值問題；3．均值不等式．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年貴州省高三第一次月考文科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的方程為 ，雙曲線的左、右焦

 

點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點.

（1）求雙曲線的方程；                                             

（2）若直線與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，求的范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省湛江二中高三（上）第一次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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