Question

如圖，△OAB是等邊三角形，∠AOC=45°，OC=

2

，A、B、C三點共線，
（1）求

OB

•

BC

的值．
（2）D是線段BC上的任意點，若

OD

=x

OB

+y

OC

，求x²y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知易得

OB

•

BC

的夾角為∠B的補角，由正弦定理，結(jié)合△OAC中，OC=

2

，∠OAC=120°，∠AOC=45°，∠OCA=15°，解三角形OAC，易得OB，BC的長，代入向量數(shù)量積公式即可求解．
（2）由D是線段BC上的任意點，若

OD

=x

OB

+y

OC

，我們易得x+y=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1），構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²y利用導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出x²y的最大值．

解答：解：（1）sin15o=sin(45o-30o)=

6 - 2

4

（1分）
在△OAC中，∠OAC=120°，∠AOC=45°，∠OCA=15°，
∴

OC

sin120o

=

OA

sin15o

=

AC

sin45o

，
即

2

3 2

=

2 6

3

=

OA

sin15o

=

AC

sin45o

（3分）
故OA=

2 6

3

sin15o=

2 6

3

×

6 - 2

4

=1-

3

3

，
AC=

2 6

3

sin45o=

2 6

3

×

2

2

=

2 3

3

，
∵OA=AB=OB=1-

3

3

，
故BC=AC+AB=1+

3

3

（5分）
∠OBC=60°，可得＜

OB

，

BC

＞=120°，
∴

OB

•

BC

=（1-

3

3

）×（1+

3

3

）×cos120°=-

1

3

（7分）

（2）∵D、B、C三點共線，故可設(shè)

CD

=λ

CB

，（0≤λ≤1）（8分）

OD

=（1-λ）

OC

+λ

OB

，又

OD

=y

OC

+x

OB

，
故x+y=λ+（1-λ）=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1）（10分）
令f（x）=x²y=x²（1-x）=x²-x³（0≤x≤1）（11分）
f'（x）=2x-3x²x∈[0，

2

3

]時，f'（x）=2x-3x²≥0?f（x）在區(qū)間[0，

2

3

]單調(diào)遞增，x∈[

2

3

，1]時，f'（x）=2x-3x²≤0?f（x）在區(qū)間[

2

3

，1]單調(diào)遞減，（13分）
∴fmax(x)=f(

2

3

)=

4

27

，即x²y的最大值為

4

27

．（14分）

點評：本題考查的知識是正弦定理，平面向量的數(shù)量積，三點共線的坐標表示，導數(shù)法求函數(shù)在定區(qū)間上的最值．其中（1）中利用正弦定理解三角形，（2）中根據(jù)D、B、C三點共線，得到x+y=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1），是解答的關(guān)鍵．