已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx+a，x∈[
π
4
，
π
2
]，且f(
π
3
)=4．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．
分析：（1）先利用降冪公式進行降冪，都轉(zhuǎn)化成二倍角，然后再利用輔助角公式化簡，將
π
3
代入即可求出參數(shù)a；
（2）將原函數(shù)化簡成f(x)=2sin(2x-
π
6
)+2，根據(jù)x的范圍求出2x-
π
6
的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域．
解答：解：（1）由題意，得f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx+a=1-cos2x+
3
sin2x+a=2sin(2x-
π
6
)+1+a（4分）
由f(
π
3
)=2sin
π
2
+1+a=4，得a=1
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x-
π
6
)+2
當x∈[
π
4
，
π
2
]時，2x-
π
6
∈[
π
3
，
5
6
π]，sin(2x-
π
6
)∈[
1
2
，1]
∴f（x）∈[3，4]
故函數(shù)f（x）的值域為[3，4]．（14分）
點評：本題主要考查了降冪公式與二倍角公式的運用，以及正弦函數(shù)的值域的求解，通常先化簡然后根據(jù)單調(diào)性求解，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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