Question

【題目】雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F1 ， F2漸近線分別為l1 ， l2 ， 位于第一象限的點P在l1上，若l2⊥PF1 ， l2∥PF2 ， 則雙曲線的離心率是（ ）
A.
B.
C.2
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 漸近線分別為l1 ， l2 ， 點P在第一 象限內且在l1上，
∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），
漸近線l1的直線方程為y= x，漸近線l2的直線方程為y=﹣ x，
∵l2∥PF2 ， ∴ ，即ay=bc﹣bx，
∵點P在l1上即ay=bx，
∴bx=bc﹣bx即x= ，∴P（ ， ），
∵l2⊥PF1 ，
∴ ，即3a2=b2 ，
∵a2+b2=c2 ，
∴4a2=c2 ， 即c=2a，
∴離心率e= =2．
故選C．
由雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 漸近線分別為l1 ， l2 ， 點P在第一 象限內且在l1上，知F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），由漸近線l1的直線方程為y= x，漸近線l2的直線方程為y=﹣ x，l2∥PF2 ， 知ay=bc﹣bx，由ay=bx，知P（ ， ），由此能求出離心率．