Question

已知e是自然對(duì)數(shù)的底，若函數(shù)f（x）=|e^x-bx|有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，0）∪{ e}
分析：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個(gè)解，即方程e^x-bx=0有且只有一個(gè)解，因?yàn)閤=0不滿足方程，所以方程同解于b=，分類討論可得當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程有且只有一解等價(jià)于b=e；當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，方程有且只有一解等價(jià)于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍；
解答：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個(gè)解，即方程e^x-bx=0有且只有一個(gè)解．
因?yàn)閤=0不滿足方程，所以方程同解于b=．
令h（x）=，由h′（x）==0得x=1．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程b=有且只有一解等價(jià)于b=e．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=有且只有一解等價(jià)于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．