Question

過點P（1，1）作直線l，使得它被橢圓

x2

9

+

y2

4

=1所截出的弦的中點恰為P，則直線l的方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出過P點的直線交橢圓于B、C兩點的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差，再結(jié)合F點是線段BC的中點，即可求出直線的斜率，即可得到直線方程．

解答：解：設(shè)過P點的直線交橢圓于B、C兩點，B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）
則有4x₁²+9y₁²=36，4x₂²+9y₂²=36，
兩式相減得：4（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0
因為P點是線段BC的中點，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
代入得：k_BC=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

所以l的方程為y-1=-

4

9

（x-1），即4x+9y-13=0．
故答案為：4x+9y-13=0．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵在于設(shè)出B、C兩點的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差，再結(jié)合F點是線段BC的中點即可求出直線的斜率．這也是解決此類問題的常用方法．