Question

已知函數(shù)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax²-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），證明f（x）在（0，上是單調(diào)遞減函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即的解集為（1，3）可知x=1，x=3  的根，從而可求a，b，進(jìn)而可求不等式ax²-bx+1＜0的解集
（2）由f（1）=f（2）可求a，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明
解答：解：（1）∵不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即的解集為（1，3）
∴x=1，x=3  的根，
∴a=3，b=4
∴ax²-bx+1=3x²-4x+1＜0的解集為
（2）由f（1）=f（2）可得，1+a=2+
∴a=2，f（x）=x+
設(shè)0＜x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）==（x₁-x₂）
=
∵0＜x₁＜x₂∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）=x+在（0，]單調(diào)遞減
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次不等式與二次方程的關(guān)系的應(yīng)用，及利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．