Question

如圖，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿對(duì)角線(xiàn)AC將△ABC折起，使點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的射影O恰在AC上，
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線(xiàn)BC與AD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AD-C的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，，
∴，
∴，
又，
∴BO⊥AC，
又AB=CB，
∴O為AC中點(diǎn)，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB所在直線(xiàn)分別為x，z軸，以過(guò)O且平行于CD的直線(xiàn)為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
∴，
∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCD。
（Ⅱ），
∴，
∴，
即異面直線(xiàn)BC與AD所成的角為60°。
（Ⅲ）平面ACD的法向量為，設(shè)平面ABD的法向量為，
則，
解得，
取z=1，
∴，
設(shè)二面角B-AD-C的平面角為θ，
則。