7.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x|(x∈R)的最小值為a.
(1)求a;
(2)已知兩個(gè)正數(shù)m,n滿足m2+n2=a,求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值.

分析 (1)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求出f(x)的最小值,即可求出a的值;
(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出其最小值即可.

解答 解:(1)f(x)=|x+1|+|x|≥|x+1-x|=1,
∴f(x)的最小值a=1.                               …(4分)
(2)由(1)知m2+n2=1≥2mn,得mn≤$\frac{1}{2}$,
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$≥2$\sqrt{2}$,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào).…(11分)
所以$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為2$\sqrt{2}$.                         …(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問題,考查基本不等式的性質(zhì),是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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