Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=λ，，其中λ∈R是常數(shù)，n∈N^*．
（1）若λ=-3，求a₂、a₃；
（2）對?λ∈R，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若λ+12＞0，討論{S_n}的最小項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得a₁=-3，把n=2，n=3分別代入遞推公式可求a₂，a₃
（2）利用待定系數(shù)法構(gòu)造數(shù)列b_n=a_n-3n+15為等比數(shù)列，可先求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和，然后利用分組求和求數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和s_n
（3）結(jié)合（2）可先求a_n=，觀察可得當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞0，通過計(jì)算，從而對①②③④分別進(jìn)行判斷數(shù)列單調(diào)性，從而求和的最小值．
解答：解：（1）a₁=-3，a₂=+（1-2）=-3，a₃=a₂+（2-2）=-2．
（2）設(shè)b_n=a_n+αn+β，α、β∈R是常數(shù)，代入得，
解，
得，即b_n=a_n-3n+15，．
若λ≠-12，則{b_n}是首項(xiàng)為b₁=λ+12≠0、公比為的等比數(shù)列，
所以{b_n}的前n項(xiàng)和
數(shù)列{3n-15}的前n項(xiàng)和為，所以．
若λ=-12，則b_n=0，a_n=3n-15，9．
綜上所述，?λ∈R，．
（3），
a₁=λ，，，，
當(dāng)n≥5時(shí)a_n＞0，
所以，當(dāng)時(shí)，?n∈N^*有a_n＞0，{S_n}的最小項(xiàng)是S₁；
當(dāng)時(shí)，{S_n}的最小項(xiàng)是S₁、S₂和S₃；
當(dāng)時(shí)，{S_n}的最小項(xiàng)是S₃；
當(dāng)時(shí)，{S_n}的最小項(xiàng)是S₃和S₄；當(dāng)時(shí)，{S_n}的最小項(xiàng)是S₄．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用構(gòu)造求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值問題，需要考生具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力．