函數(shù)y=f（x）（x∈R）有下列命題：
（1）在同一坐標系中，y=f（x-1）與y=f（-x+1）的圖象關于直線x=-1對稱；
（2）若f（2-x）=f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）若f（x-1）=f（x+1），則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且2是一個周期；
（4）若f（2-x）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱．其中正確命題的序號是
（2）（3）（4）
（2）（3）（4）
．
分析：根據(jù)題意，依次分析4個命題：對于（1）：y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，由圖象變化的規(guī)律分析如何由將y=f（x）得到f（x-1）的圖象，如何由y=f（-x）得到y(tǒng)=[-（x-1）]=f（-x+1）的圖象，進而判斷可得（1）錯誤；對于（2）：在f（2-x）=f（x）中，用換元法，令t=x-1，可得f（1-t）=f（1+t），分析可得（2）正確；對于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），由周期函數(shù)的定義，分析可得（3）正確；對于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，用換元法，令t=x-1，則f（1-t）=-f（1+t），分析可得，則（4）正確；綜合可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，依次分析4個命題：
對于（1）：y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，將y=f（x）向右平移一個單位得到f（x-1）的圖象，
將y=f（-x）的圖象向右平移一個單位得到y(tǒng)=[-（x-1）]=f（-x+1）的圖象，則在同一坐標系中，y=f（x-1）與y=f（-x+1）的圖象關于直線x=1對稱，則（1）錯誤；
對于（2）：在f（2-x）=f（x）中，令t=x-1，則f（1-t）=f（1+t），分析可得函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，則（2）正確；
對于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且2是一個周期，（3）正確；
對于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，令t=x-1，則f（1-t）=-f（1+t），則函數(shù)y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱，則（4）正確；
綜合可得，正確命題的序號是（2）、（3）、（4），
故答案為（2）、（3）、（4）．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，涉及抽象函數(shù)的對稱問題，關鍵掌握函數(shù)關于直線、點對稱的規(guī)律與判斷方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）對于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“P數(shù)對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“類P數(shù)對”．設函數(shù)f（x）的定義域為R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數(shù)對”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數(shù)對”，且當x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數(shù)，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數(shù)對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選作題）定義在（-1，1）上的函數(shù)y=f（x）滿足：對任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）如果當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0，求證：f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）在（2）的條件下解不等式：f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）對于定義域分別為M，N的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：
函數(shù)h(x)=
f(x)•g(x)，當x∈M且x∈N
f(x)，當x∈M且x∉N
g(x)，當x∉M且x∈N

（1）若函數(shù)f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，設bn為曲線y=h（x）在點（an，h（an））處切線的斜率；而{an}是等差數(shù)列，公差為1（n∈N*），點P1為直線l：2x-y+2=0與x軸的交點，點Pn的坐標為（an，bn）．求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數(shù)y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對于定義域D內(nèi)的任意實數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)m，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級類增周期函數(shù)，周期為T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級類周期函數(shù)，周期為T．
（1）試判斷函數(shù)f（x）=log
12
(x-1)是否為（3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數(shù)？并說明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）下面兩個問題可以任選一個問題作答，如果你選做了兩個，我們將按照問題（Ⅰ）給你記分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m級類周期函數(shù)，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，當x∈[0，1）時，f（x）=2x，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知當x∈[0，4]時，函數(shù)f（x）=x2-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期為4的m級類周期函數(shù)，且y=f（x）的值域為一個閉區(qū)間，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•盧灣區(qū)一模）將奇函數(shù)的圖象關于原點（即（0，0））對稱這一性質(zhì)進行拓廣，有下面的結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要條件是y=f（x）的圖象關于點（a，b）成中心對稱．
②函數(shù)y=f（x）滿足F（x）=f（x+a）-f（a）為奇函數(shù)的充要條件是y=f（x）的圖象關于點（a，f（a））成中心對稱（注：若a不屬于x的定義域時，則f（a）不存在）．
利用上述結(jié)論完成下列各題：
（1）寫出函數(shù)f（x）=tanx的圖象的對稱中心的坐標，并加以證明．
（2）已知m（m≠-1）為實數(shù)，試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關于某一點成中心對稱？若是，求出對稱中心的坐標并說明理由；若不是，請說明理由．
（3）若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4的圖象關于點(
2
3
，f(
2
3
))成中心對稱，求t的值．

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