Question

如圖，已知四棱錐中，側(cè)棱平面，底面是平行四邊形，，，，分別是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面

（2）當(dāng)平面與底面所成二面角為時，求二面角的正切值．

Answer 1

解：（1）證明：∵平面，∴的射影是，的射影是，[來源:學(xué)科網(wǎng)]

∵∴∴，且，

∴是直角三角形，且，

∴，∵平面，∴，

且，∴平面…

（2）解法1：由（1）知，且是平行四邊形，可知，

又∵平面，由三垂線定理可知，，

又∵由二面角的平面角的定義可知，是平面與底面所成二面角，故，故在中，，∴，，

從而又在中，，

∴在等腰三角形，分別取中點(diǎn)和中點(diǎn)，連接，和，

∴中位線，且平面，∴平面，

在中，中線，由三垂線定理知，，[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]

為二面角的平面角，

在中，，，

 .

∴二面角的正切值為

解法2：由(Ⅰ)知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、

所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，

，，，

則，，

設(shè)平面的一個法向量為,

則由

又是平面的一個法向量，

平面與底面所成二面角為

，解得，

設(shè)平面的一個法向量為,

則由.

又是平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，則

，∴

∴二面角的正切值為..