Question

已知橢圓C：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為，
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(I)設(shè)F(c，0)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，其方程為x-y-c=0，
O到l的距離為，故，
由，得。
(Ⅱ)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立，
由(I)知C的方程為2x²+3y²=6，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
(i)當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1)，
C上的點(diǎn)P使成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x₁+x₂，y₁+y₂)，
且2(x₁+x₂)²+3(y₁+y₂)²=6，
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6，
又A、B在C上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6，
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0， ①
將y=k(x-1)代入2x²+3y²=6，
并化簡(jiǎn)得(2+3k²)x²-6k²x+3k²-6=0，
于是，，
代入①解得，k²=2，此時(shí)，
于是，即，
因此，當(dāng)時(shí)，，l的方程為；
當(dāng)時(shí)，，l的方程為。
(ⅱ)當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立；
綜上，C上存在點(diǎn)使成立，
此時(shí)l的方程為。