如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面 平面，且，分別為和的中點．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構(gòu)造面外線平行于面內(nèi)線，其手段一般是構(gòu)造平行四邊形，或構(gòu)造三角形中位線(特別是有中點時)，本題易證從而達到目標；（Ⅱ）要證面面垂直，由面面垂直的判定定理知可先考察線面垂直，要證線面垂直，又要先考察線線垂直；（Ⅲ）求棱錐的體積，關(guān)鍵是作出其高，由面面及為等腰直角三角形，易知（中點為），就是其高，問題得以解決.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)．
∵四邊形為矩形且是的中點．∴也是的中點．
又是的中點，                       2分
∵平面，平面，所以平面；      4分
（Ⅱ）證明：∵平面 平面，，平面 平面，
所以平面 平面，又平面，所以       6分
又，是相交直線，所以面 
又平面，平面平面；            8分
（Ⅲ）取中點為．連結(jié),為等腰直角三角形，所以，
因為面面且面面，
所以，面，
即為四棱錐的高．      10分 
由得．又．
∴四棱錐的體積    12分
考點：空間中線面的位置關(guān)系、空間幾何體的體積.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點.

（1）若，求證：平面平面；
（2）點在線段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長AB=1.

（Ⅰ）求異面直線A1B與 B1C所成角的大��；（Ⅱ）求證：平面A1BD∥平面B1CD1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝， BD＝BC＝1， AA1＝2，E為DC的中點，F(xiàn)是棱DD1上的動點．

(1)求異面直線AD1與BE所成角的正切值；
(2)當DF為何值時，EF與BC1所成的角為90°？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，平面，四邊形是矩形，，M,N分別是AB,PC的中點，

（1）求平面和平面所成二面角的大小，
（2）求證：平面
（3）當的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）若為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．

（Ⅰ）求證: 平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面為矩形，為上一點，，．

（I）若為的中點，求證平面；
（II）求三棱錐的體積．

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