Question

14．已知$\overrightarrow a=（sinx，cosx），\overrightarrow b=（sinx，sinx），f（x）=2\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若$g（x）=f（x），x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，畫出函數(shù)y=g（x）的圖象，討論y=g（x）-m（m∈R）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，利用向量數(shù)量積的運算法則求解f（x）并化簡，即可求得f（x）的最小正周期和最大值
（Ⅱ）$g（x）=f（x），x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，利用“5點畫法”畫出函數(shù)y=g（x）的圖象．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2sinxcosx+2sin²x=sin2x-cos2x+1=$\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）+1$
∴f（x）的最小正周期T=π；
函數(shù)f（x）的最大值為：$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}+1$；
（Ⅱ）$g（x）=f（x），x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，利用“5點畫法”，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上列表為

x	$-\frac{π}{2}$	$-\frac{3π}{8}$	$-\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{π}{2}$
$2x-\frac{π}{4}$	$-\frac{5π}{4}$	-π	$-\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{4}$
$sin（{2x-\frac{π}{4}}）$	$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	0	-1	0	1	$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
$y=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）+1$	2	1	$1-\sqrt{2}$	1	$1+\sqrt{2}$	2

描點作圖

那么：y=g（x）-m（m∈R）的零點個數(shù)，即為函數(shù)y=g（x）與直線y=m的交點個數(shù)，
由圖可知，當$m＜1-\sqrt{2}或m＞1+\sqrt{2}$時，無零點；
當$m=1-\sqrt{2}或m=1+\sqrt{2}$時，有1個零點；
當$1-\sqrt{2}＜m＜2$或$2＜m＜1+\sqrt{2}$時，有2個零點；
當m=2時，有3個零點．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，將零點問題轉化為交點問題，利用“5點畫法”作出圖象是關鍵．