Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x+

1

2

f′(

π

12

)cos2x+f′(

π

4

)．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜3對(duì)任意x∈(

π

12

，

π

3

]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式先求出f（x）的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）根據(jù)不等式恒成立的條件，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

3

sin2x+

1

2

f′(

π

12

)cos2x+f′(

π

4

)．
∴f'（x）=2

3

cos2x-f′(

π

12

)sin2x，
令x=

π

12

，得f′(

π

12

)=2

3

×

3

2

-f′(

π

12

)×

1

2

，
解得f′(

π

12

)=2，
f′(

π

4

)=2

3

cos?

π

2

-f′(

π

12

)sin

π

2

=-f′(

π

12

)=-2，
∴f（x）=

3

sin2x+cos2x+-2=2sin(2x+

π

6

)-2，
∴函數(shù)的最小周期T=π，最小值為-4．
（2）由（1）知，f（x）=

3

sin2x+cos2x+-2=2sin(2x+

π

6

)-2，
當(dāng)x∈(

π

12

，

π

3

]時(shí)，2x+

π

6

∈(

π

3

，

5π

5

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴-1≤f（x）≤0，
又不等式|f（x）-m|＜3對(duì)任意x∈(

π

12

，

π

3

]恒成立，
∴

m＜f(x)+3 m＞f(x)-3

，
∴

m＜fmin(x)+3 m＞fmax(x)-3

，
即-3＜m＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的公式求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．