Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝，且a_n＝(n≥2，n∈N₊)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)求證：對一切正整數(shù)n，不等式a₁×a₂…a_n＜2×n！恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將條件變?yōu)椋?－， 　　因此，數(shù)列{1－}為一個等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比為，從而1－n， 　　據(jù)此得an＝(n≥1)．① 　　(2)證明：據(jù)①得， 　　a1×a2…an＝ 　　為證a1a2…an＜2n!， 　　只要證n∈N+時有(1－)(1－)…(1－)＞．② 　　顯然，左端每個因式皆為正數(shù)，先證明，對每個n∈N+， 　　(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋)．③ 　　用數(shù)學(xué)歸納法證明③式； 　　(Ⅰ)n＝1時，顯然③式成立， 　　(Ⅱ)假設(shè)n＝k時，③式成立． 　　即(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋)， 　　則當(dāng)n＝k＋1時， 　　(1－)(1－)…(1－)(1－)≥[1－(＋＋…＋)](1－) 　�。�1－(＋＋…＋)－＋(＋＋…＋)≥1－(＋＋…＋＋)． 　　即當(dāng)n＝k＋1時，③式也成立． 　　故對一切n∈N+，③式都成立． 　　利用③，得(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋) 　�。�1－＝1－[1－()n]＝＋()n＞． 　　思路分析：由題設(shè)條件知，可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求得an；第(2)問的證明，可以等價變形，視為證明新的不等式．

提示：

本題提供了用數(shù)學(xué)歸納法證明相關(guān)問題的一種證明思路，即要證明的不等式不一定非要用數(shù)學(xué)歸納法去直接證明，我們通過分析法、綜合法等方法的分析，可以找到一些證明的關(guān)鍵，“要證明……”，“只需證明……”，轉(zhuǎn)化為證明其他某一個條件，進(jìn)而說明要證明的不等式是成立的．