Question

（2012•九江一模）已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-x³]=2，則方程f（x）-f′（x）=2的解所在的區(qū)間是（　�。�

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

Answer 1

分析：由題意，可知f（x）-x³是定值令t=f（x）-x³，得出f（x）=x³+t，再由f（t）=t³+t=2求出t的值即可得出f（x）的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，即可求出f（x）-f′（x）=2的解所在的區(qū)間選出正確選項

解答：解：由題意，可知f（x）-x³是定值，不妨令t=f（x）-x³，則f（x）=x³+t
又f（t）=t³+t=2，整理得（t-1）（t²+t+2）=0，解得t=1
所以有f（x）=x³+1
所以f（x）-f′（x）=x³+1-3x²=2，令F（x）=x³-3x²-1
可得F（3）=-1＜0，F(xiàn)（4）=8＞0，即F（x）=x³-3x²-1零點在區(qū)間（3，4）內(nèi)
所以f（x）-f′（x）=2的解所在的區(qū)間是（3，4）
故選D

點評：本題考查導數(shù)運算法則，函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是判斷出f（x）-x³是定值，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點來進行研究，降低了解題的難度