Question

已知函數(shù)f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax，(a∈R)
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2lnx+

1

x

f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

(x＞0)…（2分）

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

…（4分）
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）極小值=f(

1

2

)=2-2ln2，無(wú)極大值…（5分）
（2）f′(x)=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2a(x- 1 2 )(x+ 1 a )

x2

(x＞0)…（6分）
①當(dāng)

1

2

=-

1

a

，即a=-2時(shí)，f'（x）≤0恒成立，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）…（7分）
②當(dāng)

a＜0 1 2 ＜- 1 a

，即-2＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

2

，-

1

a

)…（9分）
③當(dāng)

a＜0 1 2 ＞- 1 a

，即a＜-2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

1

a

，

1

2

)…（11分）
綜上所述：當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

1

a

，

1

2

)；
當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

2

，-

1

a

)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．