Question

已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）證明：對(duì)任意，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn)；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)的值，使得函數(shù)在上存在最大值或最小值？若存在，求出實(shí)數(shù) 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）過定點(diǎn)；

（3）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上存在最大值或最小值.

【解析】

試題分析：（1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 1分

令得：或

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為 3分

（Ⅱ） 4分

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：

即： 6分

即：，由得：

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn) 8分

（Ⅲ），令，

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上既無最大值也無最小值. 10分

②當(dāng)，即或時(shí)，

方程有兩個(gè)相異實(shí)根記為，

由得的單調(diào)遞增區(qū)間為，

由得的單調(diào)遞減區(qū)間為 11分

，

當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知

所以函數(shù)不存在最大值. 12分

當(dāng)時(shí)，，

由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知，

法一、

所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上才有最小值. 13分

由得：，

由韋達(dá)定理得：，化簡(jiǎn)得：，

解得：或.

綜上得：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上存在最大值或最小值. 15分

法二、由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知， （接上）

所以當(dāng)且僅當(dāng)有解時(shí)，在上存在最小值.

即：在上有解，

由解得：或

綜上得：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上存在最大值或最小值. 15分

考點(diǎn)：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求曲線的切線方程；（3）求函數(shù)的最值.