Question

15．設函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}x，x＞0}\\{{{log}_{0.5}}（-x），x＜0}\end{array}}\right.$．
（I）求$f（f（-\frac{1}{4}））$的值；
（II）若f（a）＞f（-a），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的解析，代值計算即可，
（Ⅱ）對a進行分類討論，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（-$\frac{1}{4}$）=log_0.5（$\frac{1}{4}$）=2，f（2）=log₂2=1，
∴$f（f（-\frac{1}{4}））$=1，
（Ⅱ）當x＞0時，f（x）=log₂x，函數(shù)為增函數(shù)，
當x＜0時，f（x）=log_0.5（-x），函數(shù)也為增函數(shù)，
∵f（a）＞f（-a），
當a＞0時，則log₂a＞log_0.5a=log₂$\frac{1}{a}$，即a＞$\frac{1}{a}$，解得a＞1，
當a＜0時，則log_0.5（-a）=log₂（-a）即log₂$\frac{1}{-a}$＞log₂（-a），即-$\frac{1}{a}$＞-a，解得-1＜a＜0
綜上所述實數(shù)a的取值范圍（-1，0）∪（1，+∞）

點評 本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)值和參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．