Question

（2011•西安模擬）某同學(xué)在利用描點(diǎn)法畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜

π

2

的圖象時(shí)，列出的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

x	0	1	2	3	4
y	1	0	1	-1	-2

經(jīng)檢查，發(fā)現(xiàn)表格中恰好有一組數(shù)據(jù)計(jì)算有誤．根據(jù)以上信息可知f(

13

4

)的值是

-

2

．

Answer 1

分析：先由（0，1），（2，1）兩組的數(shù)據(jù)的對(duì)稱軸可知對(duì)稱軸x=1，且可排除（1，0）更改為（1，A）代入可得，再根據(jù)（2，1），（3，-1）可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心(

5

2

，0)，根據(jù)正弦函數(shù)相鄰對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離為

T

4

這一性質(zhì)可求ω，進(jìn)一步求∅，A，即可求出函數(shù)的解析式，然后求出f(

13

4

)．

解答：解：由題意可知（0，1），（2，1）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且對(duì)稱軸x=1，
由三角函數(shù)的對(duì)稱性可知，正弦函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值，且過(guò)（1，A），
從而可得第二組（1，0）錯(cuò)誤
把（1，A）代入可得，ω+∅=

π

2

（2，1），（3，-1）關(guān)于(

5

2

，0)對(duì)稱，所以可得(

5

2

，0)是函數(shù)的對(duì)稱軸x=1相鄰一個(gè)對(duì)稱中心
從而函數(shù)的周期T=4×(

5

2

-1)=6，根據(jù)周期公式T=

2π

ω

=6，∴ω=

π

3

，∅=

π

6

函數(shù)f（x）=Asin(

π

3

x+

π

6

)
把函數(shù)圖象上的點(diǎn)（0，1）代入函數(shù)解析式可得Asin

π

6

=1，∴A=2
故函數(shù)的解析式為：y=2sin(

π

3

x+

π

6

)，
所以f(

13

4

)=2sin(

π

3

×

13

4

+

π

6

)=2sin（π+

π

4

）=-

2

．
故答案為：-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性（軸對(duì)稱、中心對(duì)稱）求解函數(shù)的解析式，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)性質(zhì)，要靈活運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)．