Question

7．已知集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，（0≤a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性質(zhì)P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i，a_i-a_i至少有一個屬于A．
（1）分別判斷集合M={0，2，4}與N={1，2，3}是否具有性質(zhì)P
（2）求證：
①a₁=0
②a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n
（3）當(dāng)n=3或4時集合A中的數(shù)列{a_n}是否一定成等差數(shù)列？說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用新定義，可以判斷集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P，N={1，2，3}不具有性質(zhì)P；
（2）根據(jù)數(shù)列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3時具有性質(zhì)P，對任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項(xiàng)
（3）確定a₁=0，再利用新定義，即可判斷具有性質(zhì)P的集合A中的數(shù)列{a_n}是否一定成等差數(shù)列．

解答 （1）解：集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P，N={1，2，3}不具有性質(zhì)P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i≤j≤2）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項(xiàng)，4-2是該數(shù)列中的項(xiàng)，
∴集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，則由題意得3+3和3-3至少一個一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是這個集合的元素，而此集合沒有0，故不具有性質(zhì)P；
（2）①數(shù)列中的最大項(xiàng)a_n，顯然a_n+a_n=2a_n不是數(shù)列中的項(xiàng)，則必有a_n-a_n=0屬于該數(shù)列，故0∈A，所以a₁=0，
②若數(shù)列A具有該性質(zhì)P，設(shè)a_n是最大項(xiàng)，則具有性質(zhì)ai+an（1＜i≤n，i∈N*），不在A中，則a_n-a_i是數(shù)列A中的項(xiàng)，則依題意：a_n-a_n＜a_n-a_n-1＜a_n-a_n-2＜…＜a_n-a₂＜a_n-a₁，則由給的數(shù)列A的性質(zhì)可知；a_n-a_n=a₁，a_n-a_n-1=a₂，a_n-a_n-2=a₃，…a_n-a₂=a_n-1，a_n-a₁=a_n，將前面n個式子相加得：na_n-（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n，故na_n=2（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n），
故a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n
（3）解：n=3時，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃具有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃與a₃-a₂至少有一個是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
∵a₁=0，a₂+a₃不是該數(shù)列的項(xiàng)，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；
n=4時，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄具有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄與a₄-a₃至少有一個是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
∵a₃+a₄不是該數(shù)列的項(xiàng)，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，則數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；若a₄-a₃=a₃，則數(shù)列{a_n}不一定成等差數(shù)列；

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的應(yīng)用知識分析、解決問題的能力，屬于難題