Question

若函數(shù)f（x）滿足下列條件：在定義域內(nèi)存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M；反之，若x不存在，則稱函數(shù)f（x）不具有性質(zhì)M．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=2^x具有性質(zhì)M，并求出對(duì)應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)h（x）=具有性質(zhì)M，求a的取值范圍；
（Ⅲ）試探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函數(shù)，指出哪些函數(shù)一定具有性質(zhì)M？并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把函數(shù)f（x）=2^x代入f（x+1）=f（x）+f（1），解出x，從而求解；
（Ⅱ）根據(jù)h（x）具有性質(zhì)M，即存在x，使得h（x+1）=h（x）+h（1），代入得到一個(gè)關(guān)于x，的方程，其中含有參數(shù)a，并對(duì)a進(jìn)行討論，從而求出a的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)y=f（x）恒具有性質(zhì)M，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解，因?yàn)棰賧=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函數(shù)，把其代入進(jìn)行一一驗(yàn)證是否具有性質(zhì)M；
解答：解：（Ⅰ）證明：f（x）=2^x代入f（x+1）=f（x）+f（1）得2^x+1=2^x+2得：…（2分）
即2^x=2，解得x=1，
∴函數(shù)f（x）=2^x具有性質(zhì)M．…（4分）
（Ⅱ）解：h（x）的定義域?yàn)镽，且可得a＞0，
∵h(yuǎn)（x）具有性質(zhì)M，
∴存在x，使得h（x+1）=h（x）+h（1），代入得lg=
化為2（+1）=+a
整理得：（a-2）+2ax+2a-2=0有實(shí)根…（5分）
①若a=2，得x=-，滿足題意
②若a≠2，則要使（a-2）+2ax+2a-2=0有實(shí)根有實(shí)根，只需滿足△≥0，
即a²-6a+4≤0，解得a∈[3-，3+]
∴a∈[3-，2）∪（2，3+]…（8分）
綜合①②，可得a∈[3-，3+]…（9分）
（Ⅲ）解：函數(shù)y=f（x）恒具有性質(zhì)M，即關(guān)于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
①若f（x）=kx+b，則方程（*）可化為k（x+1）+b=kx+b+k+b，
整理，得0×x+b=0，
當(dāng)b≠0時(shí)，關(guān)于x的方程（*）無解
∴f（x）=kx+b不恒具備性質(zhì)M；
②若f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則方程（*）可化為2ax+a+b=0，解得x-．
∴函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）一定具備性質(zhì)M．
③若f（x）=（k≠0），則方程（*）可化為x²+x+1無解
∴f（x）=（k≠0）不具備性質(zhì)M；
④若f（x）=a^x，則方程（*）可化為a^x+1=a^x+a，化簡得（a-1）a^x=a即a^x=
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程（*）無解
∴f（x）=（k≠0），不恒具備性質(zhì)M；
⑤若f（x）=log_ax，則方程（*）可化為log_a（x+1）=log_ax，化簡得x+1=x
顯然方程無解；
∴f（x）=（k≠0），不具備性質(zhì)M；
綜上所述，只有函數(shù)f（x）=ax2+bx+c一定具備性質(zhì)M．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，出現(xiàn)了新定義，這是高考的熱點(diǎn)，圍繞這個(gè)新定義出了三問，但是都不是很難，運(yùn)用了分類討論的思想，是一道中檔題；