Question

已知數(shù)列滿足：且對(duì)任意的有.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意的有成立？證明你的結(jié)論

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ），即

解析:

(Ⅰ)解：∵

        ∴ 

∴數(shù)列是首項(xiàng)為（），公比為2的等比數(shù)列，………………4分

， 

，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列

，∴…                      …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得: 

由此可猜想，即 …………………10分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝1，右邊＝,

當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立，

（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即 

當(dāng)n＝k＋1時(shí)

 

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立，

綜上所述，存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意的有成立。              …………………14分