Question

如圖，ABCD是正方形，過點D作PD⊥平面ABCD，連接PA、PB、PC，若PD=DC，E是PC的中點，連接DE，過E作EF⊥PB于F．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：PB⊥平面EFD．

Answer 1

證明：（1）連接AC，角BD于點G
則點G是AC的中點
又∵點E是PC的中點
∴GE∥PA
又∵EG?面BDE，PA?面BDE
∴PA∥面BDE
（2）四邊形ABCD是正方形
∴BC⊥CD
又∵PD⊥面ABCD
∴PD⊥BC
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥面PCD
∴BC⊥DE
又∵PD=DC，E是PC的中點
∴PC⊥DE
又∵PC∩BC=C
∴DE⊥面PBC
∴DE⊥PB
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E
∴PB⊥平面EFD
分析：（1）由線面平行的判定定理，須先作輔助線證線線平行，從而可證線面平行
（2）由線面垂直的判定定理，須先證PB垂直于平面內的兩條相交直線，從而可證線面垂直
點評：本題考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理和性質定理，須能靈活應用這些定理，并有較強的空間立體感．屬簡單題