Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且2nS_n=（n+1）a_n，n∈N^*
（1）求a_n與S_n的表達(dá)式；
（2）如果?k∈N^*，使得?k∈N^*|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]成立，求正數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)2nS_n=（n+1）a_n：Sn=-

n+1

n-1

Sn-1；進(jìn)而向前遞推得到Sn=-

n+1

n-1

Sn-1=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)Sn-2=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)…(-

4

2

)(-

3

1

)S1；即可求出Sn=(-1)n-1

(n+1)n

2

，(n≥2)，進(jìn)而得到a_n與S_n的表達(dá)式；
（2）先根據(jù)第一問的結(jié)論得到|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|=（k+1）（2k+1）；再結(jié)合|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]，讓k取特殊值，檢驗(yàn)即可得到結(jié)論．

解答：解（1）由2nS_n=（n+1）a_n，知
當(dāng)n≥2時(shí)，2nS_n=（n+1）（S_n-S_n-1），整理得：Sn=-

n+1

n-1

Sn-1
所以Sn=-

n+1

n-1

Sn-1=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)Sn-2=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)…(-

4

2

)(-

3

1

)S1．
而S₁=a₁=1，
所以Sn=(-1)n-1

(n+1)n

2

，(n≥2)，
當(dāng)n=1時(shí)，上式也等于1，所以Sn=(-1)n-1

(n+1)n

2

，(n∈N*)
此時(shí)an=

2nSn

n+1

=(-1)n-1n2，  (n∈N*)
（2）由（1）知|a_k+a_k+1|=|（-1）^k-1k²+（-1）^k（k+1）²|=2k+1，|Sk+Sk+1|=|(-1)k-1

k(k+1)

2

+(-1)k

(k+1)(k+2)

2

|=k+1
由|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]，知（k+1）（2k+1）∈[2012-m，2012+m]，
要使得正整數(shù)m取得最小值，則必須（k+1）（2k+1）充分靠近2012，
而（k+1）（2k+1）隨著正整數(shù)k的增大而增大，
當(dāng)k=30時(shí)，（k+1）（2k+1）=1891＜2012，
當(dāng)k=31時(shí)，（k+1）（2k+1）=2016＞2012，
所以2012+m≥2016，m≥42012-m≤1891，m≥121，
綜上，正整數(shù)m的最小值為4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用問題以及前n項(xiàng)和為S_n與通項(xiàng)之間的關(guān)系．是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考察，屬于中檔題目，解決問題的關(guān)鍵在于利用疊乘法求出前n項(xiàng)和為S_n的表達(dá)式．