Question

求a的取值范圍，使方程log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）=1有實(shí)根．

Answer 1

分析：log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）等價于

x-3

(x+2)(x-1)

=a，即ax²+（a-1）x+3-2a=0，故方程ax²+（a-1）x+3-2a=0，
a＞0且a≠1有實(shí)根的充要條件是

(a-1)2-4a(3-2a)≥0 a＞0 a≠1

，由此可以求出a的取值范圍．

解答：解：∵log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）=1，∴loga

x-3

(x+2)(x-1)

=1，∴

x-3

(x+2)(x-1)

=a，∴ax²+（a-1）x+3-2a=0．∵a是對數(shù)的底，∴a＞0，且a≠1．
方程ax²+（a-1）x+3-2a=0，a＞0且a≠1有實(shí)根的充要條件是

(a-1)2-4a(3-2a)≥0 a＞0 a≠1

，
解得a≥

7+2 10

9

或0＜a≤

7-2 10

9

．
故a的取值范圍是{a|a≥

7+2 10

9

或0＜a≤

7-2 10

9

}．

點(diǎn)評：本題是對數(shù)函數(shù)的綜合題，解題時要注意對數(shù)的運(yùn)算法則，想辦法把對數(shù)方程有實(shí)根的問題等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程有實(shí)根的問題．