Question

已知某工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售某種產(chǎn)品，每月生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本C（x）（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)品數(shù)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系為C(x)=

a-1

2

x2+lnx，每噸該產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為a萬(wàn)元．且為保證設(shè)備的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，每月至少生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品．
（1）若a=2，且每月的生產(chǎn)能力不超過(guò)5噸，求C（x）的變化范圍；
（2）若需要保證在該產(chǎn)品的生產(chǎn)銷(xiāo)售中不出現(xiàn)虧本，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）寫(xiě)出函數(shù)解析式，確定函數(shù)在[1，5]上單調(diào)遞增，即可得到結(jié)論；
（2）由題意，ax-

a-1

2

x2-lnx≥0（x≥1），令y=ax-

a-1

2

x2-lnx（x≥1），求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，求最值，可求a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，1≤x≤5，C(x)=

1

2

x2+lnx，
∴C′(x)=

x2+1

x

＞0，∴函數(shù)在[1，5]上單調(diào)遞增，∴

1

2

≤C（x）≤

25

2

+ln5；
（2）由題意，ax-

a-1

2

x2-lnx≥0（x≥1），
令y=ax-

a-1

2

x2-lnx（x≥1），則y′=a-(a-1)x-

1

x

=-

(x-1)[(a-1)x-1]

x

1°0＜a＜1時(shí)，y′＞0，函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴a-

a-1

2

≥0，∴a≥-1，∴0＜a＜1；
2°1＜a≤2時(shí)，函數(shù)在[1，

1

a-1

）上單調(diào)遞增，在[

1

a-1

，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值；
3°a＞2時(shí)，y′＜0，函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴函數(shù)無(wú)最小值，
綜上：0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．