如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求二面角C－BF－D的正切值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．

　　是菱形，是的中點(diǎn)．

　　點(diǎn)為的中點(diǎn)，．　　2分

　　平面平面，

　　平面．　　4分

　　(Ⅱ)解法一：平面，平面，

　　．

　　．

　　是菱形，

　　．

　　，

　　平面．　　6分

　　作，垂足為，連接，則，

　　所以為二面角的平面角．　　8分

　　，

　　．．

　　在Rt△中，＝，

　　．

　　二面角的正切值是．　　10分

　　解法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的垂直平分線所在直線為軸，所在直線為y軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，

　　則，

　　，．

　　．

　　設(shè)平面的一個(gè)法向量為n，

　　由nn，

　　得得

　　令，則，

　　n．　　6分

　　平面，平面，

　　．

　　．

　　是菱形，

　　．

　　

　　平面．

　　平面的一個(gè)法向量，．　　8分

　　

　　二面角的正切值是．　　10分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點(diǎn)M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案