Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，直線l：y=-x+2

2

與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M（0，t）的直線l′（斜率存在時）與橢圓C交于P、Q兩點，設D為橢圓C與y軸負半軸的交點，且|DP|=|DQ|，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線l：y=-x+2

2

與圓為x²+y²=b²，相切，利用點到直線的距離公式可求b，由e=

c

a

及a²=b²+c²可求a，進而可求橢圓C的方程
（2）當直線的斜率k=0時，容易求t的范圍；而k≠0時，設直線線l′的方程為y=kx+t，聯(lián)立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后結(jié)合方程的根與系數(shù)關系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，從而可求PQ中點H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率關系可求t，k的方程，聯(lián)立可求t的范圍

解答：解：（1）以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=b²，
由直線l：y=-x+2

2

與圓相切可知，

2 2

2

=b即b=2
∵e=

c

a

=

6

3

∴a²=3b²
∵a²=b²+c²
∴a=2

3

∴橢圓C的方程

x2

12

+

y2

4

=1
（2）當直線的斜率k=0時，-2＜t＜2
k≠0時，設直線線l′的方程為y=kx+t
聯(lián)立方程

y=kx+t x2 12 + y2 4 =1

可得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0
則△=36k²t²-4（1+3k²）（3t²-12）＞0，
∴t²＜4+12k²①，且x₁+x₂=

-6kt

1+3k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t
取PQ中點H，則H(-

3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

)由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ
∵D（0，-2）
∴

t 1+3k2 +2

- 3kt 1+3k2

•k=-1
∴t=1+3k²＞1②
①②聯(lián)立可得

t2＜4t t＞1

∴t∈（1，4）
綜上，t∈（-2，4）

點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標準方程，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求解