Question

（2011•鹽城二模）在△ABC中，角A、B、C的所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，且a=

5

，b=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求 sin(2A-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理得到

c

sinC

=

a

sinA

，將a的值及sinC=2sinA代入，即可求出c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，將a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦函數(shù)公式求出sin2A及cos2A的值，將所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）∵a=

5

，sinC=2sinA，
∴根據(jù)正弦定理

c

sinC

=

a

sinA

得：c=

sinC

sinA

a=2a=2

5

；
（Ⅱ）∵a=

5

，b=3，c=2

5

，
∴由余弦定理得：cosA=

c2+b2-a2

2bc

=

2 5

5

，
又A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=

3

5

，
則sin（2A-

π

3

）=sin2Acos

π

3

-cos2Asin

π

3

=

4-3 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．