Question

矩形ABCD中，AB=20，AD=10

3

，H是AB中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在邊BC和AD上運(yùn)動(dòng)，∠EHB=?，∠FHE是直角，
（1）將△EFH的周長(zhǎng)L表示成?的函數(shù)，并寫出定義域
（2）若sinθ+cosθ=

2

，求L
（3）當(dāng)取何值時(shí)，L最長(zhǎng)，求出L的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的定義，分別求出FH，EH，EF，進(jìn)而求得周長(zhǎng)及定義域．
（2）利用sinθ+cosθ=

2

，直接帶入即可求L．
（3）設(shè)sinθ+cosθ=t，代入L的解析式中，利用θ的范圍判斷出t的范圍，進(jìn)而求得L的最大值．

解答：解：（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中點(diǎn)，
∴AH=FHsinθ=1，F(xiàn)H=

10

sinθ

，同理EH=

10

cosθ

，EF=

( 10 sinθ )2+( 10 cosθ )2

=

10

sinθcosθ

∴L=FH+EH+EF=

10

sinθ

+

10

cosθ

+

10

sinθcosθ

=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，當(dāng)F與D重合時(shí)，θ取到最小值

π

6

，
當(dāng)E與C重合時(shí)，θ取到最大值

π

3

，
∴θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]；
（2）若sinθ+cosθ=

2

，則平方得1+2sinθcosθ=2，
即sinθcosθ=

1

2

，
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=

10( 2 +1)

1 2

=20（

2

+1）．
（3）令sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ=

t2-1

2

，t=

2

sin（θ+

π

4

）
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=

10(t+1)

t2-1 2

=

20(t+1)

(t+1)(t-1)

=

20

t-1

∵θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴θ+

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[

6 + 2

4

，

2

]，
∵L=

20

t-1

在[

6 + 2

4

，

2

]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=

6 + 2

4

，即θ=

π

6

時(shí)，函數(shù)L的最大值為

20(3+ 3 )

3

=20(

3

+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．涉及了通過(guò)三角函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的問(wèn)題．綜合性較強(qiáng)，難度較大．