Question

在青島嶗山區(qū)附近有一個(gè)小島的周?chē)�有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，半徑為30km的圓形區(qū)域．已知小島中心位于輪船正西70km處，港口位于小島中心正北40km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,直線與圓

分析：我們以港口中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．進(jìn)而可推斷出以小島的中心為圓心，半徑為30km的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程，及輪船航線所在直線l的方程，進(jìn)而求得圓心到直線的距離，解果大于半徑推斷出輪船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．

解答： 解：我們以港口中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
這樣，以小島的中心為圓心，半徑為30km的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為x²+y²=30²①
輪船航線所在直線l的方程為

x

70

+

y

40

=1，即4x+7y-280=0②
如果圓O與直線l有公共點(diǎn)，則輪船有觸礁危險(xiǎn)，需要改變航向；如果O與直線l無(wú)公共點(diǎn)，則輪船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，無(wú)需改變航向．
由于圓心O（0，0）到直線l的距離d=

280

65

＞30，
所以直線l與圓O無(wú)公共點(diǎn)．這說(shuō)明輪船將沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，不用改變航向．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型．解題的關(guān)鍵是看圓與直線是否有交點(diǎn)．