Question

（2011•福建模擬）如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=

1

2

CD=1．
現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．
（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求證：BC⊥平面BDE；
（3）求三棱錐D-BCE的體積．

Answer 1

分析：（1）取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN，證明BN∥AM．說明BN?平面BEC，且AM?平面BEC，即可證明AM∥平面BEC；
（2）先證明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可證明BC⊥平面BDE；
（3）利用V_E-BCD=V_D-BCE，求出底面DCB的面積，高DE，即可求三棱錐D-BCE的體積．

解答：解：（1）證明：取EC中點(diǎn)N，M是EC的中點(diǎn)，連接MN，BN．
在△EDC中，M，N分別為ED，EC的中點(diǎn)，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．         （3分）
所以四邊形ABNM為平行四邊形．
所以BN∥AM．                              （4分）
又因?yàn)锽N?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．                          （4分）
（2）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．                （6分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．                 （8分）
（3）由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD
所以S△BCD=

1

2

BD•BC=

1

2

•

2

•

2

=1，又因?yàn)镋D⊥平面ABCD，DE=1
∴V_E-BCD=V_D-BCE=

1

3

S△BCD•DE=

1

3

•（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面的平行與垂直的證明方法，幾何體的體積的解法，考查空間想象能力、計(jì)算能力，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，判定定理的正確應(yīng)用．