Question

如圖，棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影．
（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大�。�
（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大�。�

Answer 1

分析：（I）因?yàn)镋、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)所以EF∥AC，然后利用三角形解出異面直線所成的角的大小；
（II）因?yàn)椤鰽CD，△BCD均為正三角形且點(diǎn)F為中點(diǎn)，所以CD⊥面AFB，利用面面垂直得到面AFB⊥面ACD，因?yàn)锳BCD是正四面體，且O是點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影，所以點(diǎn)O必在正三角形BCD的中線BF，上過(guò)O做OG⊥AF，利用△AOF∽△OGF，求出點(diǎn)O到平面ACD的距離OG；
（III）利用條件作出EK∥AO，利用已知的線面垂直得到作出的直線垂直與平面BCD，利用二面角的平面角的定義，在三角形中求出二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镋、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，
所以EF∥AC．
所以∠BCA是EF與BC所成角．
∵正四面體ABCD，∴△ABC為正三角形，
所以∠BCA=60°．
即EF與BC所成角的大小是60°．
（II）如圖，連接AO，AF，
因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，
且△ACD，△BCD均為正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD．
因?yàn)锽F∩AF=F，
所以CD⊥面AFB．
因?yàn)镃D?在ACD，
所以面AFB⊥面ACD．
因?yàn)锳BCD是正四面體，且O是點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影，
所以點(diǎn)O必在正三角形BCD的中線BF上，
在面ABF中，過(guò)O做OG⊥AF，垂足為G，
所以O(shè)G⊥在ACD．
即OG的長(zhǎng)為點(diǎn)O到面ACD的距離．
因?yàn)檎�四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，
在△ABF中，容易求出AF=BF=

3

2

，OF=

3

6

，AO=

6

3

，
因?yàn)槔�用相似比易求出OG=

6

9

．
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離是

6

9

．
（Ⅲ）連接OD，設(shè)OD的中點(diǎn)為K，連EK，
則EK∥AO．
因?yàn)锳O⊥面BCD，
所以EK⊥面BCD．
在平在BCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)K作KN∥CD，KN交BF
于M，交BC于N，
因?yàn)锽F⊥CD，
所以KN⊥BF．
連接EM，
所以EM⊥BF．
所以∠NME是所求二面角的平面角．
因?yàn)镋K=

1

2

CH=

1

2

•

6

3

=

6

6

，
MK=

1

2

ED=

1

4

AD=

1

4

，
所以tan∠EMK=

FK

MK

=

2 6

3

．
所以tan∠NME=tan(π-∠EMK)=-

2 6

3

．
所以所求二面角的大小為π-arctan

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了利用異面直線所成角的定義及中點(diǎn)作出平行線進(jìn)而在三角形中求出異面直線所成的角的大小，還考查了特殊三角形利用中點(diǎn)得到線面垂直進(jìn)而利用二面角平面角的定義求出二面角的大小，利用三角形相似求出點(diǎn)到面的距離，及利用反三角函數(shù)解出角的大�。�