Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中點．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求直線PB與直線DE所成的角的余弦值；
（3）設二面角A-BE-D的平面角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為原點，CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．求出向量的坐標，易得=2，即PC∥QE，結合已知中PC⊥平面ABCD，由線面垂直的第二判定定理可得QP⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面EBD⊥平面ABCD；
（2）分別求出直線PB與直線DE的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出直線PB與直線DE所成的角的余弦值；
（3）分別求出平面ABE與平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-BE-D的平面角的余弦值．
解答：解：由PC⊥平面ABCD，所以以C為原點，
CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC=120°，
PC=a，E是PA的中點．所以，，P（0，0，a），
∵E是PA的中點，∴．（2分）
（1）設AC和BD交于點Q，則Q（0，a，0），
∴=（0，0，a，），=2，PC⊥平面ABCD，∴QP⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；（4分）
（2）∵•=（-a，a，-a）•（-a，0，a，）=-a²，
||=a，||=a，
∴cos＜，＞==；-（4分）
（3）設平面ABE的法向量為p=（x，y，z），可得p=（-，1，），
又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又=（0，a，0），
∴取平面BDE的法向量q=（0，，0），
∴p•q=，|p|=，|q|=，
∴cosq=．（4分）
點評：本題考查的知識點二面角的平面角及求示，異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標系，求出相應直線的方向向量及平面的法向量，將空間直線與平面的平行或垂直及夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．