Question

（2008•靜安區(qū)一模）（理）根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠每日產(chǎn)品廢品率p與日產(chǎn)量x（件）之間近似地滿足關(guān)系式p=

2

10-x

(x∈N，1≤x≤58)（日產(chǎn)品廢品率=

日廢品(件)數(shù)

日產(chǎn)量(件)數(shù)

）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．該車間的日利潤T按照日正品贏利額減去日廢品虧損額計算．
（1）將該車間日利潤T（千元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（2）當該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤額最大？最大日利潤額是幾千元？

Answer 1

分析：（1）由于車間的日利潤T按照日正品贏利額減去日廢品虧損額計算．故分別表示出日正品贏利額，日廢品虧損額，即可得答案；
（2）由于所得函數(shù)是分式函數(shù)，故利用換元法，求最值．令10-x=t，則2≤t≤9，進而利用基本不等式求函數(shù)的最大值．

解答：（理）解：（1）由于車間的日利潤T按照日正品贏利額減去日廢品虧損額計算．故T=2x(1-p)-x•p•1=

14x-2x2

10-x

(x∈N，1≤x≤8)；
（2）令10-x=t，則2≤t≤9，t∈N，T=2[13-(t+

30

t

)]，
因為t+

30

t

≥2

30

，當且僅當t=

39

t

，即t=

30

時取等號．而t∈N，
所以當t=5或t=6時，t+

30

t

有最小值11，
從而T有最大值4，此時，x=4或5
即車間的生產(chǎn)量定為4件（或5件）時，該車間可獲得最大利潤4千元．

點評：本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查函數(shù)模型的建立，考查利用函數(shù)思想解決實際問題，關(guān)鍵是實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，即建模，同時又用來解決實際問題．