Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（1）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值
（2）求PB與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明BD⊥平面PAC，設(shè)AC∩BD=O，則PB在平面PAC的射影為PO，所以∠BPO即為所求；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出

PB

=（1，

3

，-2），

AC

=（0，2

3

，0），利用向量的夾角公式，即可求PB與AC所成角的余弦值．

解答：解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
因?yàn)镻A∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．
設(shè)AC∩BD=O，則PB在平面PAC的射影為PO，所以∠BPO即為所求
因?yàn)镻A=AB=2，∠BAD=60°，
所以PB=2

2

，BO=1
所以sin∠BPO=

BO

PB

=

2

4

…（6分）
（2）因?yàn)椤螧AD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=

3

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則P（0，-

3

，2），A（0，-

3

，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0）．
所以

PB

=（1，

3

，-2），

AC

=（0，2

3

，0），
設(shè)PB與AC所成角為θ，則cosθ═

6

2 2 ×2 3

=

6

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面角，考查線線角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．