已知向量
m
=（2cos2x，sinx），
n
=（1，2cosx）．
（I）若
m
⊥
n
且0＜x＜π，試求x的值；
（II）設(shè)f（x）=
m
•
n
，試求f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程和對(duì)稱(chēng)中心．
分析：（Ⅰ）由
m
⊥
n
可得
2
sin（2x+
π
4
）+1=0，又0＜x＜π，從而可求得x的值；
（Ⅱ）由f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，由2x+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈Z，可求得其對(duì)稱(chēng)軸方程；由2x+
π
4
=kπ，k∈Z，可求其對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，繼而可得答案．
解答：解：（I）∵
m
⊥
n
．
∴
m
•
n
=2cos2x+2sinxcosx…（2分）
=cos2x+sin2x+1
=
2
sin（2x+
π
4
）+1
=0，…（4分）
∵0＜x＜π，
∴2x+
π
4
∈（
π
4
，
9π
4
），
∴2x+
π
4
=
5π
4
或
7π
4
，
∴x=
π
2
或
3π
4
．…（6分）
（II）∵f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，
令2x+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈Z，可得x=
kπ
2
+
π
8
，k∈Z，
∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x=
kπ
2
+
π
8
，k∈Z，…（9分）
令2x+
π
4
=kπ，k∈Z，可得x=
kπ
2
-
π
8
，k∈Z，
∴對(duì)稱(chēng)中心為（
kπ
2
-
π
8
，1）k∈Z，…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心，掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式與正弦函數(shù)的性質(zhì)是根本，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（1，1），
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
 且
m
•
n
=-1；若△ABC的內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，且A≤B≤C；
（1）若關(guān)于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，B]上有相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），試求|
n
+
p
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（1，1），向量
n
與向量
m
的夾角為
3π
4
，且
m
•
n
=-1
（1）求向量
n
；
（2）設(shè)向量
a
=（1，0），向量
b
=(cosx，2cos2(
π
3
-
x
2
))，若
a
•
n
=0，記函數(shù)f(x)=
m
•(
n
+
b
)，求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱(chēng)軸方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（1，1），向量
n
與向量
m
的夾角為
3π
4
，且
m
•
n
=-1
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，而向量p=(cosx，2cos2(
π
3
-
x
2
))，其中0＜x＜
2π
3
，試求|
n
+
p
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（1，1），向量
n
與向量
m
夾角為
3π
4
，且
m
•
n
=-1．
（Ⅰ）求向量
n
；
（Ⅱ）設(shè)向量
a
=（1，0）向量
b
=（cosx，2cos2（
π
3
-
x
2
）），其中0＜x＜
2π
3
，若
a
⊥
n
，試求|
n
+
b
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=(2cos2(x-
π
6
)，sinx)，
n
=(1，2sinx)，函數(shù)f(x)=
m
•
n

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求當(dāng)x∈[0，
5π
12
]時(shí)函數(shù)f（x）的取值范圍．

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