如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，
，．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（1）取中點，連結，．證得，由四邊形為直角梯形，得到，證得平面．推出 ．
（2）直線與平面所成角的正弦值為．

解析試題分析：（1）證明：取中點，連結，．

因為，所以            2分
因為四邊形為直角梯形，
，，
所以四邊形為正方形，所以．     4分
所以平面．   
所以 ．            6分        
（2）解法1：因為平面平面，且
所以BC⊥平面                          8分
則即為直線與平面所成的角               9分
設BC=a，則AB=2a，，所以
則直角三角形CBE中，          。11分
即直線與平面所成角的正弦值為．            。12分
解法2：因為平面平面，且 ，

所以平面，所以．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系． 因為三角形為等腰直角三角形，所以，設，
則．
所以 ，平面的一個法向量為．
設直線與平面所成的角為，
所以 ，           
即直線與平面所成角的正弦值為．（參照解法1給步驟分）     12分
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離及體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題給出了兩種解法，便于比較借鑒。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖四棱錐E—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形�！螦BC=45°，BE=BC=   EA=EC=6，M為EC中點，平面BCE⊥平面ACE，AE⊥EB

（I）求證：AE⊥BC （II）求四棱錐E—ABCD體積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知正方體中，面中心為．

（1）求證：面；
（2）求異面直線與所成角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M、N分別是AB、PC的中點，且.證明：平面PAD⊥平面PDC.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

長方體中，底面是正方形，，是上的一點．

⑴求異面直線與所成的角；
⑵若平面，求三棱錐的體積；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,中,側棱與底面垂直,,,點分別為和的中點.

（1）證明:;
（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖。在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中點。

（I）求證：A1B∥平面AMC1；
（II）求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）試問：在棱A1B1上是否存在點N，使AN與MC1成角60°？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

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