拋物線C：y=
14
x2的焦點(diǎn)為F．
（1）已知拋物線C上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，求在點(diǎn)A處拋物線C的切線方程；
（2）斜率為1的直線l過點(diǎn)F，與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．
分析：（1）先求點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求在點(diǎn)A處拋物線C的切線斜率，由此可得切線方程；
（2）求出過點(diǎn)F、斜率為1的直線l方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求線段MN的長(zhǎng)．
解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=
1
4
×12=
1
4
，即A(1，
1
4
)．（1分）
∵y′=
1
2
x，（3分）     
∴所求切線的斜率k=y'|x=1=
1
2
×1=
1
2
．（5分）
∴所求切線方程為y-
1
4
=
1
2
×(x-1)，
即2x-4y-1=0．（6分）
（2）拋物線C：x2=4y，焦點(diǎn)F（0，1）（7分）
∵斜率為1的直線l過點(diǎn)F，
∴直線l的方程為y=x+1． （8分）
聯(lián)立
x2=4y
y=x+1
，
∴x2-4x-4=0
∴x=2±2
2

∴
x=2+2
2
y=3+2
2
，或
x=2-2
2
y=3-2
2
．（10分）
∴|MN|=
[(2+2
2
)-(2-2
2
)]2+[(3+2
2
)-(3-2
2
)]2
=8．
所以，線段MN的長(zhǎng)為8． （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線方程為載體，考查切線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=
1
4
x關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A、（1，0）
B、（0，
1
16
)
C、（0，1）
D、(
1
16
，0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）有下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=x+
1
4x
（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則P的軌跡是拋物線；
③直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，且AB與α內(nèi)相交于點(diǎn)C的三條互不重合的直線CB、CE、CF所成的角相等，則AB⊥α；
④若f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），則f（
x1+x2
2
）≤
1
2
[f（x1）+f（x2）]．
其中正確的命題的編號(hào)是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=
1
4
x關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（　�。�
A、（1，0）
B、（
1
16
，0）
C、（0，1）
D、（0，
1
16
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：許昌三模 題型：填空題

有下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=x+
1
4x
（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則P的軌跡是拋物線；
③直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，且AB與α內(nèi)相交于點(diǎn)C的三條互不重合的直線CB、CE、CF所成的角相等，則AB⊥α；
④若f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），則f（
x1+x2
2
）≤
1
2
[f（x1）+f（x2）]．
其中正確的命題的編號(hào)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

拋物線y2=
1
4
x關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（1，0）B．（0，
1
16
)		C．（0，1）D．(
1
16
，0)

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