Question

命題
①函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a最多有一個(gè)交點(diǎn)；
②函數(shù)y=-x²+2ax+1在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞增，則a∈（-∞，2]；
③若，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=2^x，則；
④函數(shù)y=log₂（x²+ax+2）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；
⑤函數(shù)y=f（1+x）與y=f（-x-1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
以上命題正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)．
A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a的交點(diǎn)時(shí)0個(gè)或1個(gè)；函數(shù)y=-x²+2ax+1的對(duì)稱軸為：直線x=a，開口向下，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞增，所以a≥2；根據(jù)，可知函數(shù)的周期為4，所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231240735585947/SYS201311012312407355859009_DA/1.png">，f（1）=2，所以f（-1）=；根據(jù)函數(shù)y=log₂（x²+ax+2）的值域?yàn)镽，可知t=x²+ax+2可取遍一切正數(shù)，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍是；函數(shù)y=f（1+x）的圖象是由函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到，y=f（-x-1）的圖象是由y=f（-x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到，而y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)y=f（1+x）與y=f（-x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故可判斷．
解答：解：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a的交點(diǎn)時(shí)0個(gè)或1個(gè)，即最多有一個(gè)交點(diǎn)，故①正確；
函數(shù)y=-x²+2ax+1的對(duì)稱軸為：直線x=a，開口向下．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞增，所以a≥2，故②錯(cuò)誤；
∵，∴，∴函數(shù)的周期為4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），∵，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=2^x，∴f（1）=2，∴f（-1）=，故③正確；
∵函數(shù)y=log₂（x²+ax+2）的值域?yàn)镽，∴t=x²+ax+2可取遍一切正數(shù)，∴△=a²-8≥0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故④錯(cuò)誤；
∵函數(shù)y=f（1+x）的圖象是由函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到，y=f（-x-1）的圖象是由y=f（-x）的圖象
向左平移一個(gè)單位得到，而y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)y=f（1+x）與y=f（-x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故⑤錯(cuò)誤
故正確的命題是：①③
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體，考查函數(shù)的定義，二次函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性，綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)點(diǎn)多