Question

5．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{4}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，問滿足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用裂項(xiàng)法求和，根據(jù)T_n＞$\frac{1000}{2009}$，建立不等式，即可求出滿足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數(shù)n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵b_n=$\frac{4}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{4}{4（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∵T_n＞$\frac{1000}{2009}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{1000}{2009}$，
∴n＞111$\frac{1}{9}$，
∴滿足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數(shù)n是112．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，正確運(yùn)用裂項(xiàng)法是關(guān)鍵．