Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

（1）證明PA//平面EDB；

（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C―PB―D的大小.

Answer 1

解: 方法一：

                 

(1) 證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO．

∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

在中，EO是中位線(xiàn)，∴PA // EO，

而平面EDB且平面EDB，所以，PA //平面EDB．

(2) 證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，

∴，

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊      

PC的 中線(xiàn)，∴．    ①

同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而平面PDC，∴．    ②

由①和②推得平面PBC．

而平面PBC，∴

       又且，所以PB⊥平面EFD． 

（3） 解：由(2)知，，故是二面角C―PB―D的平面角．

由(2)知，．

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則，

， ，．

在中，．

在中，，∴．

所以，二面角C―PB―D的大小為．                  

方法二(理科選擇)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)．

(1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG．

依題意得．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

且．

∴，這表明PA//EG．

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB．

(2)證明：依題意得，．

又，故．

∴．

由已知，且，所以平面EFD．

(3)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，則

．

從而．所以

．

由條件知，，即

，解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且，

∴，

即，故是二面角C―PB―D的平面角．

∵，且

，，

∴． ∴．

所以，二面角C―PB―D的大小為．(或用法向量求)