已知函數(shù)f（x）=log4（ax2+2x+3）．
（1）若f（x）定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若f （1）=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
分析：（1）由f（x）的定義域為R，可得ax2+2x+3＞0對任意x∈R恒成立，結(jié)合函數(shù)的圖象可得不等式，即可求a的取值范圍；
（2）由f （1）=1，求出a的值，從而可得函數(shù)解析式，考慮內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）因為f（x）的定義域為R，所以ax2+2x+3＞0對任意x∈R恒成立，
顯然a=0時不合題意，從而必有
a＞0
△＜0
，即
a＞0
4-12a＜0
，解得a＞
1
3
．
即a的取值范圍是（
1
3
，+∞）．
（2）因為f（1）=1，所以log4（a+5）=1，因此a+5=4，所以a=-1，這時f（x）=log4（-x2+2x+3）．
由-x2+2x+3＞0得-1＜x＜3，即函數(shù)定義域為（-1，3）．
令g（x）=-x2+2x+3．
則g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
又y=log4x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，3）
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)定義域，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，確定內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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